在解决算法问题中我们会经常遇到要求均等概率的问题, 以leetcode 470. 用 Rand7() 实现 Rand10() 为例。

已有方法 rand7 可生成 1 到 7 范围内的均匀随机整数,试写一个方法 rand10 生成 1 到 10 范围内的均匀随机整数。
⚠️ 不讨论最优解,只讨论算法思路
看到均等概率的问题, 我们最先要想到转成2进制来处理,思路是让均等概率转换成均等概率出现0和1, 再由 0 和 1 ,增加位数来处理均等概率的其他数。
拆解下上面的题目 我们使用 Rand7 转成 Rand2 。让 Rand2 的返回结果均等的出现 0 和 1, 我们可以用4位二进制数来生成包含 0 ~ 15 的数。 舍弃 10~15,保留 0 到 9 ,结果加1 就是 1~ 10的随机数。

第一步转化二进制函数

Rand7() 的结果是均等概率 出现 1,2,3,4,5,6 拆解下就是 均等概率出现 1,2,34,5,6 当出现 1,2,3 的时候返回 0 ,当出现 4,5,6 的时候返回 1

declare function rand7(): number
function Rand2(): number {
	return Rand7() > 3 ? 1 : 0
}

现在我们有了过渡函数 Rand2 , 那么我们使用随机生成4位二进制数那么我就会得到 一个 均等生成 0 ~ 15 的函数

function Rand15(): number {
	return Rand2() * 2 * 2 * 2 + Rand2() * 2 * 2  + Rand2() * 2  + Rand2()
}

上面代码略蠢,我们用移位的方法优化下, 左移操作符是二进制进位的。

function Rand15(): number {
	return (rand2() << 3) + (rand2() << 2)  + (rand2() << 1)  +  (rand2() << 0)
}

那么最终的 Rand10() 函数, 我们只要舍弃掉 10~15 就可以了

function Rand10(): number {
	let num: number
	// 使用do while 循环 遇到小于10 的结束循环返回结果,遇到大的继续 roll 
	do {
	  num = Rand15()
	} while ( num > 9)
  return num + 1 // 别忘记 + 1 
}

这道题解决完了, 再来一道题,思路也是用二进制均等概率的

给一个随意函数f,以P概率返回 0 , 以 1-P 的概率返回1 这是你唯一可以使用的随机机制,如何实现等概率返回 0 和 1
思路还是用二进制升位的方式,
0 的概率是 P
1 的概率是 1- P

可以得出
00 的概率是 P*P , 11 的概率是 (1-P) * (1-P)
01 的概率是 P * (1-P) 10 的概率是 (1-P) * P 而这两个是相等的(交换率)

那么我们只要 保留 01 和 10 舍弃 00 和 11 就会获得均等概率 P * (1-P)
10 和 01 这两个数字不想等即可

declare function f(): 0 | 1
function round01 () : number {
	let num : number
	do {
		num = f()
  } while ( num == f())
	return num
}

两道小题都是用二进制位来解决的算法题。 解题思路也是两个大致的方向,一个是把高进制的数拆解成均等的二进制均等概率,然后再组成目标数。另一个是通过升位来构造均等概率。

Q.E.D.


一个热心肠的正经前端程序猿~